像差、波前誤差與我所知的近代鏡片
人如果有正視眼（Emmetropia）（圖 1 左側的 1），即眼球在放鬆狀態時，可讓五公尺至無限遠的影像（平行光線）坐落在視網膜上，但於實務上的定義，有一說為 ± 0.5 個屈光度（Dioptre, D） 內都可視為正視眼。
如果眼睛是屈光不正（Ametropia）（圖 1 左側的 2 與 3）：近視（Myopia）、遠視（Hyperopia）、散光（Astimagtism）。已造成生活上的不便時，就會需要進行校正。
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| 圖 1. 左側：1. 正視眼、2. 近視眼 與 3. 遠視眼。 右側：上為完美理想眼睛、下為有像差的眼（亦為正常眼睛） Figure 220 於來源：http://optics.udjat.nl/eye_aberrations.htm （擷取時間：2022-02-08） |
校正的方法有許多種，包含配戴鏡片、用隱形眼鏡、角膜塑型與雷射手術等。校正的目的都是為了讓影像焦點能坐落於視網膜上，讓眼睛的像差（Aberration）改善，但何謂像差？
像差
對於像差的簡介，這邊所談光源為單一波長單色光（Monochromatic light）所引起的單色像差（Monochromatic aberration），因為條件與情形相對簡單，較容易解釋光學系統因為不完美時的像差情形。進階一點的多波長的多色光（Polychromatic light）所導致的像差與色差（Chromatic aberration, CA），因為不同波長導致折射後的焦點位置不同則不在這邊的簡介中。
另外，為求簡介方便，光學系統在此也簡化以利呈現：假設有一單色光的點光源，在經由光學系統（眼睛或透鏡）後，成像的理論形式與實際情形差異。若要對更深的理論探討，可參考光的狹縫試驗、衍射、干射與 Huygens–Fresnel 理論等。
理論簡述
在簡述時，是以點光源作為基礎光源（位於整個光學系統中央），因為點光源是基礎光學系統中很常使用的理論形式，可相對簡化問題。且點光源在通過光學系統後，可找出相對應的結果，並進行學理上的探討。
- 瞳孔（Iris）
- 角膜（Cornea）、位於前房（Anterior chamber）中的房水（Aqueous humour）、水晶體（Lens）+玻璃體（Vitreous body）
- 視網膜（Retina）。
眼球（圖 2），其中將光學構造分成三部份，分別為：
- 光圈（Apeture）
- 透鏡（Lens）
- 最後的成像平面。
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| 圖 2. 人眼生物構造圖 來源：https://www.britannica.com/science/human-eye#/media/1/1688997/100415 （擷取時間：2022-02-08） |
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| 圖 3. 簡略光學系統示意圖 |
依據上面簡化後，對一均質且無凹凸的平面透鏡而言，當點光源的光線通此光學系統過後，會因為衍射（Diffraction）最終於成像平面上形成帶一中央點光源並同心圓向外擴散的艾利斑（Airy pattern）（如上圖虛線表示之光線強度，與圖 4成像平面的艾利斑圖）。
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| 圖 4. 單色光源（Monochromatic light）的艾利斑 來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Airy_disk （擷取時間：2022-02-08） |
依據此艾利斑，自中央算起第一條暗環內的亮圓盤為艾利盤（Airy disk）（圖 4 的中央光盤）。根據艾利斑光點中心至外為 x 軸，並以亮度強弱為y 軸（參考圖 3），則可得到一點擴散函數（Point spread function, PSF）（圖 3 虛線）。
姑且先不討論艾利斑在數學上的定義，這邊要先記得一件事，就是艾利斑在理論上會是同心圓且中央的艾利盤亮度最高的。接著、以下要簡介的重點是：艾利盤是會因為不完美的光學系統而變成不規則的圖形。
瞳孔大小與像差：實際情形舉例
在上述理想的光學系統中，光圈控制進光量，當其他條件都被限制（例：光源位置與成像平面位置等），則光通過透鏡與光圈後的艾利盤，其大小會與此光圈直徑成反比。在這邊若以人做例子，分別就是瞳孔大小與在視網膜上的成像大小。舉例而言，下圖（圖 5）的上排就是在理想系統中，瞳孔直徑（最下面數字表示）與艾利盤大小（圖 5 上排）的對應關係。
所以，當環境光源很亮時，眼睛瞳孔會縮小以減少光線可進入的量，成像就如圖 5 上排靠左側，會是圓盤；反之、當環境光源不足時，瞳孔會放大增加光線進入，而點光源的成像就比較像圖 5 上排靠右側，比較接近點了。
但是在「實際情形」中，光線經過的眼睛光學系統構造並非是如前述，而是會因為進入光線的波長與構造不均勻而導致像差與變形（圖 5 下排）。
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| 圖 5. 瞳孔大小（下方數字）與理論（上排）與實際（下排）成像比較 （Figure 1 in Roorda A et al., 2006） |
例如，當眼睛的角膜表面不均勻不平滑，或是房水、水晶體和玻璃體折射率分佈不均勻（不包含局部混濁的問題）或是前房表面有紋路的情形等，就會導致點光源至視網膜的圖案不再是艾利斑的圓盤或點狀，反而會是不規則的圖形且更加明顯（如圖 5 下排與圖 6 下圖），且當瞳孔越大（圖 5 越右邊，與圖 6 下圖），不規則且屈光不均勻的情形會越明顯（圖 6）。
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| 圖 6. 不同瞳孔大小（上下）在不同屈光度下，單色光的像差（Monochromatic aberration）的點擴散函數模擬情形（Fig. 1 in Wilson BJ et al., 2002） |
在稍前提到過，單色光點光源衍射出的艾利斑中，艾利盤（中央）是最亮的，旁邊的同心圓亮度會依序遞減。但從圖 5 與圖 6 中，很明顯的、理想中的艾利斑並不存在且亮度分佈不規則。
另外，上述的都還停留在單色光源的情形，實際上的成像還會受到波長影響（圖 7）等因素影響，而有色差（Chromatic aberration, CA）。
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| 圖 7. D65 光源下的艾利斑 來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Airy_disk （擷取時間：2022-02-08） |
這也是為何如果採用高光源驗光方式會不準確，因為當檢驗時，瞳孔是較小的，所以驗光也只會得到整顆眼球系統較中央區域，邊角的屈光能力是沒有被考慮的，並且依據光學理論，透鏡邊角的折射影響比中心更大。若依據這份檢測資料製作鏡片，就非常有可能在夜間時，因為瞳孔放大而導致視力模糊與容易疲憊，畢竟視覺運作的區域更大且不規則成像問題更明顯，這些問題並沒有在檢驗與製作鏡片時納入參數。
波前與像差、Zernike 多項式、測量與近代鏡片
前段像差的簡介主要是完美光學系統的簡介，與非完美情形可能會造成的差異。另外、非完美的光學系統（眼睛）成像會因瞳孔大小而有所差異，這也解釋了為何晚上視力較差而白天視力較好。
此段主要是介紹遇到實際、不完美的情形時，如何使用 Zernike 正交多項式的解析解與統計分析來解讀像差與眼睛波前（Wavefront）的部分；當然、數學的部分與多項式的擴展就不會在此介紹，純粹的簡介。
波前與波前像差
波前為一個抽象的概念，定義為光在傳遞時的同一時間點，在同一相位（Phase）點上垂直於光前進方向的相連面（在 2D 中就會是相連線）。
下圖（圖 8）為一 2D 示意情形，光線為從左側往右側行進。綠色的直線為通過透鏡前的波前；當通過透鏡後，因為光線被透鏡折射而改變行進方向（請參考 Huygens–Fresnel 理論），波前就變成了下圖（圖 8）紅色的弧線。
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| 圖 8. 理論上的波前示意圖。綠色線條為通過透鏡前，紅線為通過透鏡後。 （Fig. 2.1 in Sinjab MM and Cummings AB, 2018) |
【圖 9 左側】平行的橫向紅線可視為上圖左側的光線（平面波），而垂直的紅線則同為圖 8 綠線的波前面；當通過的介質為不規則時，就會導致波前不再是平面，而是曲面（圖 9 的藍色線，Aberrated wavefront），而藍色線形成的包絡面（綠色）則為波前像差。同理、【圖 9 右側】可對比圖 8 通過透鏡後的情形。
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| 圖 9. 帶有像差的波前示意。紅色的為 （Fig. 2.2 in Sinjab MM and Cummings AB, 2018) |
若覺得上圖表達不好，可以看下圖（圖 10）。藍色的為理想情形下，透鏡聚焦的情形，而紅色的則為波前像差與光線的情形。
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| 圖 10. 理論與實際波前像差。 來源：https://www.opticsforhire.com/blog/rms-wavefront-error-explained （擷取時間：2022-02-08） |
那問題是，知道了有波前像差，但該如何處理分析？
Zernike 多項式簡介與波前誤差
Zernike 多項式為 Frits Zernike 先生（1888-1966）所提出，主要用於分析光學系統產生的實際波前與理想球面的誤差（圖 11），但也可想成是鏡片。僅管 Zernike 多項式可用為探討光學波前誤差與鏡片的形狀，但是這兩者的結果是不能互相解釋的，即、對於眼睛光學系統偵測到波前並不代表角膜形狀（可參考：Damien GATINEL 醫師的解說）。
圖 11 為一被偵測到的眼睛波前。左側為正對於瞳孔，測得的波前熱圖（heat map）；對照側向視圖（圖 11 的右側），可看出左右邊相對參考值（綠色）是突起的（紅色），而上下則是較低的（藍色）。
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| 圖 11. 波前誤差於極座標系統的展示。 來源：https://www.gatinel.com/recherche-formation/wavefront-sensing/zernike-polynomials/ （擷取時間：2022-02-08） |
對於如何測量波前像差，可參考光投射的 Shack-Hartmann 、光點陣的 Tscherning 與光線追蹤法等
綜合上述 Zernike 簡介與前節的像差與點擴散函數，這邊做個大致的對應。
圖 12 左側上方為一理想光學系統（即 Perfect optic），當平面波（Plane-wave）通過後成為一球面波（Spherical wave），其波前型態為球面波中的綠色線，而光線收斂至成像平面上的點擴散函數為艾利斑型態。
圖 12 左側下方為一非理想的光學系統（即 Aberrated optic），平面波通過透鏡後成為非球面波（Aspherical wave），其波前型態為紅色曲線，在成相平面上的點擴散函數也不再是正圓形。
對照理想光學的波前（圖 12 左側上方的黃色圓），非理想波前的則為圖 12 左側下方那繽紛的圖案。最後，圖 12 右側為不同波前熱圖對應的點擴散函數情形。
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| 圖 12. 規則與不規則光學系統（分別為左側上與下）與導致的波前差異（熱圖）和對應的點擴散函數（右邊） 來源：https://www.innovationsforesight.com/education/aitelescopecollimation/ （網頁擷取時間 2022-02-08） |
低階與高階像差與型態
Zernike 的多項式中可產生不同的形態（Zernike term 或是Zernike mode），當型態越高，則圖形越複雜、代表像差與理想的情形誤差越複雜（圖 13）。依據型態 0 ~ 5，為低階像差（Low ordre aberration, LOA）（圖 13 中 n = 1, 2, 3），高於 5 的則為高階像差（High ordre aberration, HOA）（圖 13 中 n > 3）。
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| 圖 13. ANSI 標準的 Zernike 金字塔模式 Figure 225 於來源： https://www.telescope-optics.net/monochromatic_eye_aberrations.htm （網頁擷取時間 2022-02-08） |
圖 13 的 Zernike 多項式圖為平面型式，若將圖 13 的波峰（紅色）與波谷（藍色）轉換成立體樣貌即為下圖（圖 14）。
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| 圖 14. Zernike 多項式於 3D 中表示 來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zernike_polynomials3.pdf （網頁擷取時間 2022-02-08） |
【圖 14 上排】左邊 Z(1, ± 1) 兩個為垂直與水平稜鏡，傾斜像差（Tilt）；中間的 Z(2, 0) 可視為凹凸透鏡（遠視或是近視），為失焦（Defocus） ；右邊 Z(2, ± 2) 則為垂直與水平散光像差（Astigmatism）。
以上為低階像差；以下為高階像差
【圖 14 中間】左邊兩個為 Z(3, ± 1) 垂直與水平的彗星像差（Coma） ；再往右邊 Z(3, ± 3) 兩個則為垂直與傾斜三葉像差（Trefoil） ；最右邊的 Z(3, 0) 為球面像差（Primary spherical）。
【圖 14 下排】左邊 Z(4, ± 2) 兩個為垂直與傾斜二次散光（Secondary astigmatism） （代表角膜等畸變：Keratoconus）；再往右邊 Z(4, ± 4) 兩個為垂直與傾斜四葉像差（Trefoil）；最右邊的 Z(5, 1) 為水平二次彗星像差（Secondary coma） 。
視力量測與校正簡述
當眼球的光學系統（角膜、房水、水晶體與玻璃體等）無法準確對焦或是因為不規則而導致影像模糊，就需要進行視力檢測，並用鏡片校正失焦與像差的問題。
視力檢測的方式有許多種：傳統的手工測量、自動電腦屈光儀（Autorefractor）、角膜地形儀（Corneal topography）與前導波像差儀（Wavefront aberration）。
延續前段介紹，波前像差量測是包含整個眼睛光學構件的反應，而角膜地形圖則是透過反射偵測角膜屈光力與表面性質（凹凸），畢竟正常的眼睛情形，角膜是眼睛光學系統非常重要的構件。
這兩者都有其用途，這兩者也都有優缺點。像是角膜地形圖才能只判別角膜的形狀，避免因為其它部位（如：水晶體）的不規則造成雷射手術在消除角膜畸變上的判斷。後來也有嘗試合併兩者技術的儀器，這邊就暫時不列，以免越來越偏。
在傳統鏡片校正中，僅包含幾項參數，包含遠近失焦（Defocus）的球面校正（Spherical correction, SPH）與散光（Astigmatism）的柱狀校正（Cylinder correction, CYL）並包含散光的軸度（Axis），另外還可加入稜鏡（Prism）校正視中心。
但是上述的校正參數僅為對低階像差（Zernike mode = 1 ~ 5 或 n = 1, 2, 3），更複雜的高階像差（Zernike mode > 5 或 n > 3），自動電腦屈光儀是無法分析判斷，當然提供的參數就無法做到鏡片內，就無法對高階像差的情形進行校正。
若是測量時納入波前型態與包含角膜地形圖，則可以將前述的像差檢測擴展到高階像差，並透過波前與角膜地形與 Zernike 多項式進行計算（例如 Newton-Raphson 或是 hill-climbing 演算法），對於眼睛更細部的屈光度數做出整體的計算與理解，成為「最佳」鏡片製作的參數（可能必須透過自由曲面加工才能達成）。
這邊可以參考一下這篇文獻的圖（圖 15）（López-Gil N et al., 2007），包含各種像差的點擴散結果（左至右、自 Defoucs 至 Trefoil）與實際眼睛的點擴散情形。
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| 圖 15. 不同像差的點擴散情形（Fig. 1 in López-Gil N et al., 2007） |
以德國兩鏡片廠商，Rodenstock 與 Zeiss 為例，Rodenstock 的 DNeye Pro 儀器可以偵測到 Zernike n = 7 的波前圖，而 Zeiss 的 i.Profiler 也可以測到 n = 7。但 Rodenstock 與 Zeiss 的 i.Profiler （Cabeza JMG and Kratzer T, 2010）不同，Zeiss 是針對球面頂點（Vertex sphere） 的波前做偵測，而 Rodenstock 則是對於在視網膜上的波前作偵測（Trumm S et al., 2020）。
兩者都是對於眼睛視力提出最佳化方案，例如 Rodenstock 強調透過理解所需的眼睛生物數據，即能涵蓋所有人的眼睛。Zeiss 則是經由分別不同族群（歐洲與亞洲等）的數據，透過統計模型來進行校正。
至於兩家最後鏡片配戴數據用到的 HOA 到多少，這又得考慮統計與各家參數調配的祕方。另外，雖然前述兩者的儀器都可做到測量波前、角膜地形圖與自動電腦驗光，但是他們也不是唯一一間廠商能做到這些，有許多專業眼科儀器製造商都有這些功能。
況且，理論很美好但是現實很骨感。
以上都是對於影像位於中心的敘述，但是當眼睛轉動並透過這副校正鏡片非中心區域觀看，那會是如何？ 僅有一個波前與角膜地形數據真的就能夠使用嗎？即便能取得超多的高階像差數據，鏡片是否能夠校正這些問題？ 如果鏡片真的能夠校正後的光束真的座落到視網膜上形成一點，真的是在現實生活中能使用的鏡片嗎？（例：動態視力與眼睛轉動的對應問題。可參考 mivision 的 這篇 Rodenstock 的 DNeye Pro 解說。）。
以上這些疑問都是有非常多篇研究與各家專利解決方案，在這邊就暫且不提，但要校正所有的高階像差，目前沒看到任何一家鏡片廠商宣稱能做到，都是以「最佳化」為目標。
況且，Zernike 正交多項式也並非萬用，低階像差的影響會隱藏於高階像差的函數內是沒有經過分離和計算的。解決這一問題的方法可用 Low degree-High degree（LD-HD）多項式去分析波前像差，而 LD-HD 與 Zernike 的高階像差圖有許多差異。再者，任何模型都需要對於現實進行妥協，不可能有百分之百校正，為求更加精確，使用人工智能的校正模型（Rampat R et al., 2020）是進行式也將會是未來式。
另外，這些高階的視力量測方式與儀器，仍有所限制。因為相當精準的測量，伴隨而來的也是測量「當下」的視覺情況。使用 Placido 盤的波前或是角膜地形圖，都因為是透過反射光，所以要在較暗的環境；眼睛太乾時，就會造成乾斑，所以在測量時要眨眼並重複多次以利數據分析；眼睛必須盡可能睜大才能避免睫毛遮住或是沒有測量到所有的波前與地形圖。
近代鏡片與服務
隨著波前檢驗與角膜地形量測的普及，對於眼睛的「獨特性」與「複雜性」能相較以往傳統驗光對眼睛做更進一步的檢驗、分析與問題排除。甚至透過整合不同用途的儀器，甚至可進行綜合判斷，並測得的參數納入校正中、製作適合「個人」的鏡片。
測量儀器的整合早已行之有年，多個眼科儀器廠商都有推出相，例如自動驗光、波前偵測與角膜地形圖的綜合量測儀器，有些鏡片廠商其實也是跟這些眼科儀器廠買儀器貼牌。
在網路興起後，這些數據對於個人化鏡片製作與製作更有意義。以往是儀器測量後，儀器對數據判讀後算出鏡片校正數據，驗光師再依據儀器上的數據訂購鏡片。但在能夠連線後，這些數據的判讀不僅驗光師能夠看到，透過儀器寄送到鏡片廠商總部，總部的電腦就能依據這數據和個人參數，進行對比和最佳化（例如使用人工智慧）（圖 16）。
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| 圖 16. Rodenstock DNeye Pro 科技 來源：https://rodenstock.com.au (2018) （擷取時間 2022-02-08） |
再者、隨著加工儀器進步與自動工業進化，鏡片製作所需或是儀器檢測數據上傳至鏡片公司總部後，就能在工廠透過五軸 CNC 搭配鑽石刀，進行 3D 自由曲面加工（如圖 17），進而讓鏡片矯正效果能達到比傳統研磨更好的品質（Rolland JP et al., 2021）。
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| 圖 17. 3D 自由曲面加工自由度示意圖 來源：The Rodenstock lens portfolio (2017) （擷取時間 2022-02-08） |
然而，以上的情形其實都是較為簡化的背景介紹。當考慮人眼睛透過鏡片，在轉動與看遠看近等各種情形時，視覺體驗是否還能在整片鏡面上都相同且均勻，就是各家模型設計和鏡片加工的應用的比拼，是否能得到滿足客戶眼睛視覺與產品親睞。
在單焦鏡片的校正上是相對簡單，但對於漸進多焦點鏡片的人，也得再考慮眼鏡配戴的數據（如：角度與視中心位置）和漸進多焦視覺距離分佈（遠中近大小）。再加上不同年齡眼睛的調節能力，還有眼睛實際有造成的不規則像差，這些都讓鏡片設計與製造更加複雜。在漸進多焦點鏡片更加普及下，各家眼鏡鏡片製造的計算與模型也會再次改進。
參考文獻
Cabeza JMG and Kratzer T (2010) Apparatus and method for determing an eyeglass prescription for a vision defect of an eye (U.S. Patent No. 7744217B2). U.S. Patent and Trademark Office.
Gatinel D, Malet J, Dumas L, Azar DT (2021) Comparison of low degree/high degree and Zernike expansions for evaluating simulation outcomes after customized aspheric laser corrections. TVST. 10(3): Art21, 8pp.
López-Gil N, Rucker FJ, Stark LR, et al. (2007) Effect of third-order aberrations on dynamic accommodation. Vision Res. 47(6): 755-765.
Rampat R, Debellemanière G, Malet J, Gatinel D (2020) Using artificial intelligence and novel polynomials to predict subjective refraction. Sci Rep. 10(8565): 8 pp.
Rolland JP, Davies MA, Suleski TJ, et al. (2021) Freeform optics for imaging. Optica. 8(2): 161-176.
Roorda A, Garcia CA, Martin JA, et al. (2006) What can adaptive optics do for a scanning laser ophthalmoscope ? Bull Soc Belge Ophtalmol. 302: 231-244.
Sinjab MM and Cummings AB (2018) Introduction to Wavefront Science. In: Sinjab M and Cummings A (eds) Customized Laser Vision Correction. Springer, Cham.
Trumm S, Becken W, Bénard Y, Esser G, Uttenweiler D (2020) Simulating the actual imaging in the individual eye: A novel approach to calculating spectable lenses. Proc. SPIE 11478, 7th European seminar on precision optics manufacturing, 114780A (Jul 8th, 2020)
Wilson BJ, Decker KE, Roorda A (2002) Monochromatic aberrations provide an odd-error cue to focus direction. J Opt Soc Am A. 19(5): 833-839.
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